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平行四边形对角线平方和定理(斯特瓦尔特定理及推论简介)

斯特瓦尔特定理(Stewart's theorem)是一个描述三角形的三条边与切氏线(Cevian)长度之间关系的平面几何定理,其中切氏线是指三角形中一个顶点和对边上任意一点的连线。该定理的基础几何图形结构看似简单,但其含有6条线段元素,定理表达式记忆起来有一定难度。本文书写的定理表达式相对容易记忆,希望对大家有所帮助。

一、斯特瓦尔特定理的基本内容

如图1,在△ABC中,D为BC上一点,连接AD(切氏线),则有:

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC

上图显示,连接AD后得到三个三角形(△ABC、△ABD和△ADC)和六条边(AB、AD、AC、BC、BD、DC),斯特瓦尔特定理揭示的正是这些边长的等量关系。下面介绍一种证明方法,具体步骤如下。

作AH⊥BC,垂足为H(图2)。根据勾股定理:

AC²=AH²+HC²

= AH²+(DC-DH) ²

= AH²+DC ²-2DC·DH+DH ²

=( AH²+ DH ²) +DC ²-2DC·DH

=AD²+DC ²-2DC·DH…………①;

同理证明AB² =BD² +AD² +2BD·DH…………②。

将①两边同时乘BD得:

AC²·BD= AD²·BD +DC ²·BD -2DC·DH·BD……③;

将②两边同时乘DC得:

AB²·DC =BD²·DC +AD²·DC +2BD·DH·DC……④。

将④+③得:

AB²·DC+ AC²·BD

= BD²·DC +AD²·DC + AD²·BD +DC ²·BD

= AD²(DC+BD)+ BD·DC(BD+DC)

= AD²·BC+BC·BD·DC。

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC成立。

二、斯特瓦尔特定理的推论

在斯特瓦尔特定理的基础上,如果切氏线为中线和角平分线时,我们可以得出如下推论。

1.中线长定理,又称阿波罗尼奥斯定理,是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理,指的是三角形两边边长平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍。

如图3,D为BC的中点,连接AD,则BD=DC,BC=2BD,可将上述公式作如下变形:

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC,即

AB²·BD+AC²·BD﹣AD²·2BD =2BD·BD ²,简化后:

AB²+ AC²=2(AD ²+ BD ²)

2.角平分线长定理,即斯库顿定理。在△ABC中,当AD为角平分线时(图4),则有下面的线段关系:

AD ²=AB·AC- BD·DC

设AB=x,AC=y,BD=m,DC=n,

根据角平分线定理有:AB/AC=BD/DC,即x/y=m/n,则

m=xn/y, n=ym/x。由斯特瓦尔特定理得:

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC,即

x ²n+y ²m- AD²(m+n)= (m+n)mn,

x ²(ym/x)+y ²(xn/y) - AD²(m+n)= (m+n)mn,

xym+xyn - AD²(m+n)= (m+n)mn,

xy(m+n) - AD²(m+n)= (m+n)mn,

AD²= xy-mn,

AD²=AB·AC-BD·DC成立。

3.平行四边形的四边对角线平方和定理,即平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和。

如图5,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于M,则有AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²。

根据平行四边形的性质,对角线AC、BD相互平分,

M为BD和AC的中点,MB=MD=1/2BD;MA=MC=1/2AC。

AM、CM分别为△ABD、△BCD的中线,根据中线长定理得:

AB²+AD²=2(AM²+BM²),

BC²+CD²=2(MC²+BM²),

由此AB²+AD²+ BC²+CD²=4 AM²+4BM²

=4(1/2AC)²+4(1/2BD) ²

= AC²+BD²,

则AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²成立。

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